Menghitung Laplace transform dan invers

Fungsi transformasi laplace f(t) didefinisikan sebagai berikut:

sedangkan fungsi inversLaplace  (ILT) adalah  f(s)

dimana c adalah bilangan real yang ddipilih sehingga semua singularitas  f(s) adalah disebelah kiri  s =  c. NNotasi L[f] menunjukan Laplace transform dari f pada s. Demikian pula, L^–1[f] adalah ILT dari f pada t.

 

Transformasi laplace banyak digunakan dalam beberapa aplikasi seperti persamaan diferensial/masalah nilai awal.Sebagai contoh adalah adalah rangkaian RLC( Resistor-Induktor-Kapasitor) seperti dibawah ini:

Misalkan Rj dan Ij, j = 1, 2, 3 adalah hambatan (dalam ukuran ohms) dan arus (amper),secara berturut-turut; L adalah induktansi (henry), dan C adalah kapasitanssi (farad); E(t) adalah kuat elektromagnetik, dan Q(t) adalah perunbahan.

Dengan menerapkan hukum Kirchhoff tegangan dan arus, dan hukum faraday, kita dapat menmecahkan persamaan difernsial diatas:

Untuk memecahkan sistem persamaan diferensial ini menggunakan laplace. perrtama R_j, L, dan C sebagai konstanta real (tidak diketahu) dan kemudian hitung nilai dari suplly.

syms R1 R2 R3 L C real;
syms I1(t) Q(t) s;
dI1(t) = diff(I1(t), t);
dQ(t) = diff(Q(t),t);
E(t) = sin(t);  % Voltage
eq1(t) = dI1(t) + R2*dQ(t)/L - (R2 - R1)*I1(t)/L;
eq2(t) = dQ(t) - (E(t) - Q/C)/(R2 + R3) - R2*I1(t)/(R2 + R3);

Pada tahap ini kita membangun persamaan MATLAB^® workspace. Pendekatan persaamaan diferensial yang menggunakan transformasi laplace, dimana kita mengunakan/menerapkan eq1(t) dan eq2(t). Transformasi eq1(t) dan eq2(t)

L1(t) = laplace(eq1,t,s)
L2(t) = laplace(eq2,t,s)

hasilnya

L1(t) = 
s*laplace(I1(t), t, s) - I1(0) 
+ ((R1 - R2)*laplace(I1(t), t, s))/L 
- (R2*(Q(0) - s*laplace(Q(t), t, s)))/L

L2(t) =
s*laplace(Q(t), t, s) - Q(0) 
- (R2*laplace(I1(t), t, s))/(R2 + R3) - (C/(s^2 + 1) 
- laplace(Q(t), t, s))/(C*(R2 + R3))

Sekarang kita membutuhkan  pemecahan sistem L1 = 0, L2 = 0 untuk laplace(I1(t),t,s) dan laplace(Q(t),t,s), transformasi laplace  I₁ dan Q, secara berturut-turut. UNtuk melakukkan ini, buatlah sebauh subtitusi. Sebagai contoh, gunakan nilai  R1 = 4 Ω (ohm), R2 = 2 Ω, R3 =  3 Ω, C = 1/4 farad, L = 1.6 H (henry), I1(0) = 15 A (ampere), dan Q(0) = 2 A/sec. Subtitusikan nilai ini dalam L1

syms LI1 LQ
NI1 = subs(L1(t),{R1,R2,R3,L,C,I1(0),Q(0)}, ...
      {4,2,3,1.6,1/4,15,2})

hasilnya

NI1 =
s*laplace(I1(t), t, s) + (5*s*laplace(Q(t), t, s))/4
 + (5*laplace(I1(t), t, s))/4 - 35/2

Subtitusi

NQ = subs(L2,{R1,R2,R3,L,C,I1(0),Q(0)},{4,2,3,1.6,1/4,15,2})

hasilnya

NQ(t) =
s*laplace(Q(t), t, s) - 1/(5*(s^2 + 1)) -...
(2*laplace(I1(t), t, s))/5 + (4*laplace(Q(t), t, s))/5 - 2

UNtuk memecahkan  laplace(I1(t),t,s) dan laplace(Q(t),t,s), make a final pair of substitutions. First, replace the strings laplace(I1(t),t,s) and laplace(Q(t),t,s) by the sym objects LI1 and LQ, using

NI1 =...
 subs(NI1,{laplace(I1(t),t,s),laplace(Q(t),t,s)},{LI1,LQ})

untuk mendapatkan

NI1 =
(5*LI1)/4 + LI1*s + (5*LQ*s)/4 - 35/2

Persamaan

NI1 = collect(NI1,LI1)

gives

NI1 =
(s + 5/4)*LI1 + (5*LQ*s)/4 - 35/2

Subtutsi yang serupa

NQ = ...
subs(NQ,{laplace(I1(t),t,s), laplace(Q(t),t,s)}, {LI1,LQ})

hasil

NQ(t) =
(4*LQ)/5 - (2*LI1)/5 + LQ*s - 1/(5*(s^2 + 1)) - 2

dimana, setelah mengumpulkan persamaan

NQ = collect(NQ,LQ)

diberikan

NQ(t) =
(s + 4/5)*LQ - (2*LI1)/5 - 1/(5*(s^2 + 1)) - 2

pemecahan dari LI1 dan LQ

[LI1, LQ] = solve(NI1, NQ, LI1, LQ)

didapatkan

LI1 = 
(5*(60*s^3 + 56*s^2 + 59*s + 56))/((s^2 + 1)*(20*s^2 + 51*s + 20))
 
LQ =
(40*s^3 + 190*s^2 + 44*s + 195)/((s^2 + 1)*(20*s^2 + 51*s + 20))

Untuk mendapatkan I1 dan Q, hitung trasformasi laplace  LI1 dan LQ. Invers LI1

I1 = ilaplace(LI1, s, t)

menghasilkan

I1 =
15*exp(-(51*t)/40)*(cosh((1001^(1/2)*t)/40) -...
(293*1001^(1/2)*sinh((1001^(1/2)*t)/40))/21879) - (5*sin(t))/51

Invers dari LQ

Q = ilaplace(LQ, s, t)

haslnya

Q = 
(4*sin(t))/51 - (5*cos(t))/51 +...
(107*exp(-(51*t)/40)*(cosh((1001^(1/2)*t)/40) +...
(2039*1001^(1/2)*sinh((1001^(1/2)*t)/40))/15301))/51

Plot arus I1(t) dan  charge Q(t) Dalam dua domain waktu yang berbeda, 0 ≤ t ≤ 10 dan 5 ≤ t ≤ 25. Pernyataan:

subplot(2,2,1); ezplot(I1,[0,10]);                       
title('Current'); ylabel('I1(t)'); grid                  
subplot(2,2,2); ezplot(Q,[0,10]);                        
title('Charge'); ylabel('Q(t)'); grid                    
subplot(2,2,3); ezplot(I1,[5,25]);                       
title('Current'); ylabel('I1(t)'); grid
text(7,0.25,'Transient'); text(16,0.125,'Steady State');
subplot(2,2,4); ezplot(Q,[5,25]);                        
title('Charge'); ylabel('Q(t)'); grid  
text(7,0.25,'Transient'); text(15,0.16,'Steady State'); 

Hasil plot